文章目录
- 一、理论基础
- 1、白鲸优化算法
- （1）探索阶段
- （2）开发阶段
- （3）鲸落
- 2、BWO算法流程图
- 二、仿真实验与结果分析
- 三、参考文献
一、理论基础
1、白鲸优化算法
文献[1]从白鲸的行为出发，提出了一种新的基于种群的元启发式算法，称为白鲸优化(Beluga whale optimization, BWO)算法，用于求解优化问题。BWO建立了探索、开发和鲸鱼坠落的三个阶段，分别对应于成对游泳、捕食和鲸落的行为。BWO中的平衡因子和鲸落概率是自适应的，对控制探索和开发能力起着重要作用。此外，还引入了莱维飞行来增强开发阶段的全局收敛性。
由于BWO基于种群的机制，白鲸被视为搜索代理，而每头白鲸都是候选解，在优化过程中更新。搜索代理位置矩阵建模为：
X
=
[
x
1
,
1
x
1
,
2
⋯
x
1
,
d
x
2
,
1
x
2
,
2
⋯
x
2
,
d
⋮
⋮
⋮
⋮
x
n
,
1
x
n
,
2
⋯
x
n
,
d
]
(1)
X=\begin{bmatrix}x_{1,1} & x_{1,2} & \cdots & x_{1,d} \\x_{2,1} & x_{2,2} & \cdots & x_{2,d} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\x_{n,1} & x_{n,2} & \cdots & x_{n,d} \end{bmatrix}\tag{1}
X=⎣⎢⎢⎢⎡x1,1x2,1⋮xn,1x1,2x2,2⋮xn,2⋯⋯⋮⋯x1,dx2,d⋮xn,d⎦⎥⎥⎥⎤(1)其中，
n
n
n是白鲸的种群数量，
d
d
d代表问题变量的维数。对于所有白鲸，相应的适应度值存储如下：
F
X
=
[
f
(
x
1
,
1
,
x
1
,
2
,
⋯
,
x
1
,
d
)
f
(
x
2
,
1
,
x
2
,
2
,
⋯
,
x
2
,
d
)
⋮
f
(
x
n
,
1
,
x
n
,
2
,
⋯
,
x
n
,
d
)
]
(2)
F_X=\begin{bmatrix}f(x_{1,1},x_{1,2},\cdots,x_{1,d}) \\f(x_{2,1},x_{2,2},\cdots,x_{2,d})\\\vdots\\f(x_{n,1},x_{n,2},\cdots,x_{n,d}) \end{bmatrix}\tag{2}
FX=⎣⎢⎢⎢⎡f(x1,1,x1,2,⋯,x1,d)f(x2,1,x2,2,⋯,x2,d)⋮f(xn,1,xn,2,⋯,xn,d)⎦⎥⎥⎥⎤(2)BWO算法可以从探索逐渐转换到开发，这取决于平衡因子
B
f
B_f
Bf，其定义为：
B
f
=
B
0
(
1
−
T
/
(
2
T
max
)
)
(3)
B_f=B_0(1-T/(2T_{\max}))\tag{3}
Bf=B0(1−T/(2Tmax))(3)其中，
T
T
T是当前迭代次，
T
max
T_{\max}
Tmax是最大迭代次数，
B
0
B_0
B0在每次迭代中在
(
0
,
1
)
(0,1)
(0,1)之间随机变化。探索阶段发生在平衡因子
B
f
>
0.5
B_f>0.5
Bf>0.5时，而开发阶段发生在
B
f
≤
0.5
B_f\leq0.5
Bf≤0.5。随着迭代次数
T
T
T的增加，
B
f
B_f
Bf的波动范围从
(
0
,
1
)
(0,1)
(0,1)减小到
(
0
,
0.5
)
(0,0.5)
(0,0.5)，说明开发和探索阶段的概率发生了显著变化，而开发阶段的概率随着迭代次数
T
T
T的不断增加而增加。
（1）探索阶段
BWO的探索阶段是通过考虑白鲸的游泳行为建立的。搜索代理的位置由白鲸的配对游泳决定，白鲸的位置更新如下： { X i , j T + 1 = X i , p j T + ( X r , p 1 T − X i , p j T ) ( 1 + r 1 ) sin ( 2 π r 2 ) , j = e v e n X i , j T + 1 = X i , p j T + ( X r , p 1 T − X i , p j T ) ( 1 + r 1 ) cos ( 2 π r 2 ) , j = o d d (4) \begin{dcases}X_{i,j}^{T+1}=X_{i,p_j}^T+\left(X_{r,p_1}^T-X_{i,p_j}^T\right)(1+r_1)\sin(2\pi r_2),\quad j=even\\[2ex]X_{i,j}^{T+1}=X_{i,p_j}^T+\left(X_{r,p_1}^T-X_{i,p_j}^T\right)(1+r_1)\cos(2\pi r_2),\quad j=odd\end{dcases}\tag{4} ⎩⎪⎨⎪⎧Xi,jT+1=Xi,pjT+(Xr,p1T−Xi,pjT)(1+r1)sin(2πr2),j=evenXi,jT+1=Xi,pjT+(Xr,p1T−Xi,pjT)(1+r1)cos(2πr2),j=odd(4)其中， T T T是当前迭代次数， X i , j T + 1 X_{i,j}^{T+1} Xi,jT+1是第 i i i条白鲸在第 j j j维上的新位置， p j ( j = 1 , 2 , ⋯ , d ) p_j(j=1,2,\cdots,d) pj(j=1,2,⋯,d)是从 d d d维中选择的随机整数， X i , p j T X_{i,p_j}^{T} Xi,pjT是第 i i i条白鲸在 p j p_j pj维度上的位置， X i , p j T X_{i,p_j}^{T} Xi,pjT和 X r , p 1 T X_{r,p_1}^{T} Xr,p1T分别是第 i i i条和第 r r r条白鲸的当前位置( r r r是随机选择的白鲸)， r 1 r_1 r1和 r 2 r_2 r2是 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)的随机数， sin ( 2 π r 2 ) \sin(2\pi r_2) sin(2πr2)和 sin ( 2 π r 2 ) \sin(2\pi r_2) sin(2πr2)表示镜像白鲸的鳍朝向水面。根据奇偶数选择的维数，更新后的位置反映了白鲸在游泳或跳水时的同步或镜像行为。两个随机数 r 1 r_1 r1和 r 2 r_2 r2用于增强探索阶段的随机算子。
（2）开发阶段
BWO的开发阶段受到白鲸捕食行为的启发。白鲸可以根据附近白鲸的位置合作觅食和移动。因此，白鲸通过共享彼此的位置信息来捕食，同时考虑最佳候选者和其他候选者。在BWO的开发阶段引入了莱维飞行策略，以增强收敛性。假设它们可以使用莱维飞行策略捕捉猎物，数学模型表示为：
X
i
T
+
1
=
r
3
X
b
e
s
t
T
−
r
4
X
i
T
+
C
1
⋅
L
F
⋅
(
X
r
T
−
X
i
T
)
(5)
X_i^{T+1}=r_3X_{best}^T-r_4X_i^T+C_1\cdot L_F\cdot\left(X_r^T-X_i^T\right)\tag{5}
XiT+1=r3XbestT−r4XiT+C1⋅LF⋅(XrT−XiT)(5)其中，
T
T
T是当前迭代次数，
X
i
T
X_i^T
XiT和
X
r
T
X_r^T
XrT分别是第
i
i
i条白鲸和随机白鲸的当前位置，
X
i
T
+
1
X_i^{T+1}
XiT+1是第
i
i
i条白鲸的新位置，
X
b
e
s
t
T
X_{best}^T
XbestT是白鲸种群中的最佳位置，
r
3
r_3
r3和
r
4
r_4
r4是
(
0
,
1
)
(0,1)
(0,1)之间的随机数，
C
1
=
2
r
4
(
1
−
T
/
T
max
)
C_1=2r_4(1-T/T_{\max})
C1=2r4(1−T/Tmax)是衡量莱维飞行强度的随机跳跃强度。
L
F
L_F
LF是莱维飞行函数，计算如下：
L
F
=
0.05
×
u
×
σ
∣
v
∣
1
/
β
(6)
L_F=0.05\times\frac{u\times\sigma}{|v|^{1/\beta}}\tag{6}
LF=0.05×∣v∣1/βu×σ(6)
σ
=
(
Γ
(
1
+
β
)
×
sin
(
π
β
/
2
)
Γ
(
(
1
+
β
)
/
2
)
×
β
×
2
(
β
−
1
)
/
2
)
1
/
β
(7)
\sigma=\left(\frac{\Gamma(1+\beta)\times\sin(\pi\beta/2)}{\Gamma((1+\beta)/2)\times\beta\times2^{(\beta-1)/2}}\right)^{1/\beta}\tag{7}
σ=(Γ((1+β)/2)×β×2(β−1)/2Γ(1+β)×sin(πβ/2))1/β(7)其中，
u
u
u和
v
v
v为正态分布随机数，
β
\beta
β为默认常数，等于1.5。
（3）鲸落
为了在每次迭代中模拟鲸鱼坠落的行为，从种群中的个体中选择鲸鱼坠落的概率作为主观假设，以模拟群体中的小变化。假设这些白鲸要么移到别处，要么被击落并坠入深海。为了确保种群大小的数量恒定，使用白鲸的位置和鲸鱼落体的步长来建立更新的位置。数学模型表示为：
X
i
T
+
1
=
r
5
X
i
T
−
r
6
X
r
T
+
r
7
X
s
t
e
p
(8)
X_i^{T+1}=r_5X_i^T-r_6X_r^T+r_7X_{step}\tag{8}
XiT+1=r5XiT−r6XrT+r7Xstep(8)其中，
r
5
r_5
r5、
r
6
r_6
r6和
r
7
r_7
r7是
(
0
,
1
)
(0,1)
(0,1)之间的随机数，
X
s
t
e
p
X_{step}
Xstep是鲸鱼坠落的步长，定义为：
X
s
t
e
p
=
(
u
b
−
l
b
)
exp
(
−
C
2
T
/
T
max
)
(9)
X_{step}=(u_b-l_b)\exp(-C_2T/T_{\max})\tag{9}
Xstep=(ub−lb)exp(−C2T/Tmax)(9)其中，
C
2
C_2
C2是与鲸鱼下降概率和种群规模相关的阶跃因子(
C
2
=
2
W
f
×
n
C_2=2W_f\times n
C2=2Wf×n)，
u
b
u_b
ub和
l
b
l_b
lb分别是变量的上下限。可以看出，步长受问题变量边界、当前迭代次数和最大迭代次数的影响。
在该模型中，鲸鱼坠落概率(
W
f
W_f
Wf)作为线性函数计算：
W
f
=
0.1
−
0.05
T
/
T
max
(10)
W_f=0.1-0.05T/T_{\max}\tag{10}
Wf=0.1−0.05T/Tmax(10)鲸鱼坠落的概率从初始迭代的0.1降低到最后一次迭代的0.05，表明在优化过程中，当白鲸更接近食物源时，白鲸的危险性降低。
2、BWO算法流程图
根据之前的理论，BWO包括三个主要阶段：模拟游泳行为的探索阶段，模仿捕食行为的开发阶段，以及受白鲸坠落启发的鲸鱼坠落阶段。在优化过程中，在每次迭代中完成探索阶段和开发阶段时，将执行鲸鱼坠落阶段。BWO算法的流程图如图1所示。
二、仿真实验与结果分析
将BWO与PSO、AOA、GSA、GWO、HHO、TLBO和WOA进行对比，以文献[1]中表1和表2的F4、F5、F6、F7(单峰函数/30维)、F13、F14(多峰函数/30维)、F21、F22(固定维度多峰函数/2维、4维)为例，实验设置种群规模为50，最大迭代次数为1000，每种算法独立运算30次，结果显示如下：
函数：F4
BWO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
PSO：最差值: 752.8063, 最优值: 214.8991, 平均值: 414.1921, 标准差: 134.6102, 秩和检验: 1.2118e-12
AOA：最差值: 0.0060669, 最优值: 0, 平均值: 0.00033737, 标准差: 0.0013108, 秩和检验: 6.247e-10
GSA：最差值: 550.6107, 最优值: 107.2335, 平均值: 256.449, 标准差: 109.0837, 秩和检验: 1.2118e-12
GWO：最差值: 6.4412e-18, 最优值: 4.2628e-26, 平均值: 2.5988e-19, 标准差: 1.1717e-18, 秩和检验: 1.2118e-12
HHO：最差值: 1.5056e-153, 最优值: 1.2166e-189, 平均值: 5.0185e-155, 标准差: 2.7488e-154, 秩和检验: 1.2118e-12
TLBO：最差值: 4.2094e-235, 最优值: 2.3088e-239, 平均值: 2.9163e-236, 标准差: 0, 秩和检验: 1.2118e-12
WOA：最差值: 31345.6497, 最优值: 93.0914, 平均值: 11833.1551, 标准差: 8066.9687, 秩和检验: 1.2118e-12
函数：F5
BWO：最差值: 1.9396e-253, 最优值: 1.2793e-261, 平均值: 1.2476e-254, 标准差: 0, 秩和检验: 1
PSO：最差值: 19.5402, 最优值: 4.7078, 平均值: 9.6069, 标准差: 3.1938, 秩和检验: 3.0199e-11
AOA：最差值: 0.044329, 最优值: 2.2557e-182, 平均值: 0.0087681, 标准差: 0.015974, 秩和检验: 3.0199e-11
GSA：最差值: 0.62272, 最优值: 2.2655e-09, 平均值: 0.020757, 标准差: 0.11369, 秩和检验: 3.0199e-11
GWO：最差值: 5.331e-17, 最优值: 4.8381e-19, 平均值: 1.1648e-17, 标准差: 1.4123e-17, 秩和检验: 3.0199e-11
HHO：最差值: 3.8924e-95, 最优值: 1.9819e-108, 平均值: 1.3605e-96, 标准差: 7.098e-96, 秩和检验: 3.0199e-11
TLBO：最差值: 2.7918e-112, 最优值: 1.5435e-115, 平均值: 1.6526e-113, 标准差: 5.0994e-113, 秩和检验: 3.0199e-11
WOA：最差值: 86.6138, 最优值: 0.0081821, 平均值: 26.7168, 标准差: 27.1796, 秩和检验: 3.0199e-11
函数：F6
BWO：最差值: 6.206e-14, 最优值: 3.6684e-19, 平均值: 3.7484e-15, 标准差: 1.2736e-14, 秩和检验: 1
PSO：最差值: 735.448, 最优值: 77.5689, 平均值: 352.8469, 标准差: 173.3463, 秩和检验: 3.0199e-11
AOA：最差值: 28.8842, 最优值: 27.2905, 平均值: 27.9859, 标准差: 0.44877, 秩和检验: 3.0199e-11
GSA：最差值: 163.9406, 最优值: 25.7558, 平均值: 36.6019, 标准差: 33.2075, 秩和检验: 3.0199e-11
GWO：最差值: 28.5291, 最优值: 25.0965, 平均值: 26.6803, 标准差: 0.76805, 秩和检验: 3.0199e-11
HHO：最差值: 0.0073894, 最优值: 3.2e-06, 平均值: 0.0012758, 标准差: 0.0019969, 秩和检验: 3.0199e-11
TLBO：最差值: 28.9443, 最优值: 28.8527, 平均值: 28.9022, 标准差: 0.026154, 秩和检验: 3.0199e-11
WOA：最差值: 27.0758, 最优值: 26.0243, 平均值: 26.5589, 标准差: 0.30841, 秩和检验: 3.0199e-11
函数：F7
BWO：最差值: 4.1828e-27, 最优值: 2.0954e-30, 平均值: 2.5583e-28, 标准差: 7.5215e-28, 秩和检验: 1
PSO：最差值: 19.3792, 最优值: 2.655, 平均值: 9.3548, 标准差: 4.7822, 秩和检验: 3.0199e-11
AOA：最差值: 2.9138, 最优值: 1.8356, 平均值: 2.4748, 标准差: 0.25303, 秩和检验: 3.0199e-11
GSA：最差值: 3.8873e-17, 最优值: 9.0711e-18, 平均值: 2.0446e-17, 标准差: 6.78e-18, 秩和检验: 3.0199e-11
GWO：最差值: 0.75858, 最优值: 9.435e-06, 平均值: 0.37809, 标准差: 0.27301, 秩和检验: 3.0199e-11
HHO：最差值: 5.0413e-05, 最优值: 9.5991e-08, 平均值: 1.0241e-05, 标准差: 1.2227e-05, 秩和检验: 3.0199e-11
TLBO：最差值: 6.7383, 最优值: 3.1803, 平均值: 5.1151, 标准差: 0.92889, 秩和检验: 3.0199e-11
WOA：最差值: 0.012066, 最优值: 0.0016714, 平均值: 0.0044716, 标准差: 0.0021948, 秩和检验: 3.0199e-11
函数：F13
BWO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
PSO：最差值: 67.4637, 最优值: 26.2061, 平均值: 44.7766, 标准差: 10.6501, 秩和检验: 1.2118e-12
AOA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
GSA：最差值: 31.8387, 最优值: 7.9597, 平均值: 17.7766, 标准差: 5.7882, 秩和检验: 1.2088e-12
GWO：最差值: 6.2044, 最优值: 0, 平均值: 0.35312, 标准差: 1.3648, 秩和检验: 0.081523
HHO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
TLBO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
WOA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F14
BWO：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
PSO：最差值: 4.9853, 最优值: 2.4299, 平均值: 3.6859, 标准差: 0.67742, 秩和检验: 1.2118e-12
AOA：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
GSA：最差值: 4.5756e-09, 最优值: 2.5861e-09, 平均值: 3.6057e-09, 标准差: 5.1103e-10, 秩和检验: 1.2118e-12
GWO：最差值: 1.5099e-14, 最优值: 7.9936e-15, 平均值: 1.3323e-14, 标准差: 2.5973e-15, 秩和检验: 4.3542e-13
HHO：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
TLBO：最差值: 4.4409e-15, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 4.3225e-15, 标准差: 6.4863e-16, 秩和检验: 1.1651e-13
WOA：最差值: 7.9936e-15, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 4.204e-15, 标准差: 2.0723e-15, 秩和检验: 7.7452e-10
函数：F21
BWO：最差值: -1.0315, 最优值: -1.0316, 平均值: -1.0316, 标准差: 4.4466e-05, 秩和检验: 1
PSO：最差值: -1.0316, 最优值: -1.0316, 平均值: -1.0316, 标准差: 6.7122e-16, 秩和检验: 1.7203e-12
AOA：最差值: -1.0316, 最优值: -1.0316, 平均值: -1.0316, 标准差: 6.2926e-08, 秩和检验: 3.0199e-11
GSA：最差值: -1.0316, 最优值: -1.0316, 平均值: -1.0316, 标准差: 5.6082e-16, 秩和检验: 1.4059e-11
GWO：最差值: -1.0316, 最优值: -1.0316, 平均值: -1.0316, 标准差: 2.4521e-09, 秩和检验: 3.0199e-11
HHO：最差值: -1.0316, 最优值: -1.0316, 平均值: -1.0316, 标准差: 1.4742e-12, 秩和检验: 2.9673e-11
TLBO：最差值: -1.0316, 最优值: -1.0316, 平均值: -1.0316, 标准差: 6.7752e-16, 秩和检验: 1.2118e-12
WOA：最差值: -1.0316, 最优值: -1.0316, 平均值: -1.0316, 标准差: 1.4986e-11, 秩和检验: 3.0199e-11
函数：F22
BWO：最差值: -10.1532, 最优值: -10.1532, 平均值: -10.1532, 标准差: 7.743e-07, 秩和检验: 1
PSO：最差值: -2.6305, 最优值: -10.1532, 平均值: -6.7269, 标准差: 3.3781, 秩和检验: 0.6618
AOA：最差值: -2.0629, 最优值: -6.4671, 平均值: -3.7606, 标准差: 0.9115, 秩和检验: 3.0199e-11
GSA：最差值: -5.0552, 最优值: -5.0552, 平均值: -5.0552, 标准差: 9.0336e-16, 秩和检验: 1.2118e-12
GWO：最差值: -5.0552, 最优值: -10.1531, 平均值: -9.1363, 标准差: 2.0678, 秩和检验: 3.0199e-11
HHO：最差值: -5.0552, 最优值: -10.1531, 平均值: -5.395, 标准差: 1.2933, 秩和检验: 3.0199e-11
TLBO：最差值: -5.0552, 最优值: -10.1532, 平均值: -8.4539, 标准差: 2.4443, 秩和检验: 0.024923
WOA：最差值: -2.6305, 最优值: -10.1532, 平均值: -9.5618, 标准差: 1.839, 秩和检验: 3.0199e-11
实验结果表明：BWO算法可以提供良好的能力来平衡探索和开发阶段，以确保全局收敛，且在单峰和多峰函数方面表现良好，尤其是在可扩展性分析方面表现突出，并为复合函数提供了竞争力。
三、参考文献
[1] Changting Zhong, Gang Li, Zeng Meng. Beluga whale optimization: A novel nature-inspired metaheuristic algorithm[J]. Knowledge-Based Systems, 2022, 251: 109215.
